解題背後的心理學:行不通就換方法,建構有效的數學思維epub

解題是日常生活的一部分。我們一整天解題無數,從在聚餐時分攤帳單、開車時找出最佳路徑、訂購派對食物、安排家具動線等等都是。對許多人來說,應付這些問題輕鬆愉快,對另一些人來說卻是困難重重,為什麼會這樣呢?

許多人自小學習數學的經驗就是挫折連連,這讓他們自小就養成迴避問題的習慣,而這樣的習慣可能延伸為終身的迴避模式和習慣,讓解決問題變得比實際上更困難。然而,身為心理學家的本書作者們非常瞭解人們在面對該解決的問題時,在認知和情緒上許多難處和焦慮。並瞭解無效的思考模式從年輕時就開始,隨著時間而固化。解題能力的優劣與其說是智力差異,不如說是一種需要突破的心理障礙,以及需被認知的無效思考模式。而這是可以透過學習和教育來做調整的。

本書提供讀者解決難題的策略,也提供了清晰的步驟,讓人洞察自己的盲點,同時也重新定義所謂的信心是面對失敗的能力,因為失敗是不可避免的。想要找出好的解題策略,必定要不斷嘗試、給自己沉澱的時間,並且要有為了成功願意接受失敗想法。

此外,作者也指出影響我們解題能力的眾多心理因素,包括:曲解問題、將問題過度複雜化、沒有彈性、想法僵化、焦慮、注意力缺失、健忘以及衝動。本書將提供範例,展現常見的數學及日常生活問題以及與每一個問題交織在一起的心理因素,藉此幫助讀者瞭解必要原則,並成為一名好的解題者。

本書給那些堅信自己「學不好數學」或「說自己對數學不感興趣」的讀者。若能面對自己的焦慮,發展出更優秀的心理技巧,改善自身能力,重拾對於數學和邏輯問題的信心,並找到學習的意義,便能在未來處理生活中的難題時,好好梳理問題、制定應對策略,並擁有能看待自己的新觀點。

解題簡史

人類是解決問題的動物。亞里斯多德將人類定義為Zoon Logikon,大致可翻譯為理性的動物,儘管當時理性還未被定義。我們是理性動物的另一個好案例,在於我們在人類文明演化的漫長歷史中一直呈現對比賽、神秘事物及謎題的興趣。除了身為優秀解題者的純實用性之外,在信史甚或更早之前,人類就著迷於解題並以此為樂。此類活動創造出某種最終需獲解脫的懸疑感,來得到情感淨化──那是觀賞悲劇、解開巨大謎團,以及解開具挑戰性問題時會有的情緒性解脫。歷史上有一個例子說明了人類對於解題的著迷,那就是伊底帕斯古老傳說中的人面獅身謎語。人面獅身是隻有著女性頭部、胸部,以及獅子身軀及鳥翅的怪獸,她會以一個謎語向所有膽敢進入底比斯的人打招呼。她問:「什麼東西早晨有四隻腳,中午有兩隻腳,傍晚則是三隻腳?」若無法解出謎題就會招來死亡,正確答案則能摧毀人面獅身。伊底帕斯給出的答案是:「是人類。人在嬰兒階段(也就是生命的早晨)以四肢爬行,長成後(生命的午時)能夠站立便以雙腳走路,老年時(暮光之年)則在拐杖的輔助下行走。」就這樣,他在毫不自知的情況下,解開了自己充滿悲劇的過去與未來之謎。

再來想想米諾斯國王。他建了一座迷宮,困住人身牛頭怪物米諾陶爾(Minotaur),以此報復自己的兒子遭雅典人殺害之仇。每一年,都有十四名雅典青年被送進迷宮,從未有人逃出來過,直到忒修斯(Thesus)在米諾斯國王的女兒阿里阿德涅(Ariadne)的幫助下斬殺了米諾陶爾之後,跟著自己進迷宮時解開並一路施放的線團、在蜿蜒的通道中找到出口。這一類迷人又神秘的冒險故事所捕捉的並不是現實,更準確來說,而是人類經驗中情緒與理性被凸顯的真實方式。

在信史中,最古老的書籍是解謎遊戲及謎題集錦。現存最早的手稿中,有一本數學謎題集被稱為阿莫斯紙草書(Ahmes Papyrus),得名自抄寫本書的埃及抄寫者(亦稱為林德紙草書,此名稱來自1858年收購此書的蘇格蘭古文物家)。這份紙草書是個匿名作品,抄錄於西元前33年,在靠近古底比斯的一處遺址中被發現。這本書有八十四個具挑戰性的算術、幾何及代數題目,並附有計算面積的表格、分數的轉換、線性方程式,以及其他與測量有關的資訊。打開這份紙草書,就會看到一段雋語:「正確的計算:所有存在事物及隱密知識的入口」。據信,這份紙草書是本實用手冊,對於準確計算何以是成功解題的關鍵,做了詳細說明。當中有些問題出自其他地區,不是用阿莫斯所使用的語言呈現。其中一個問題(第七十九題)以一張清單來呈現,並未留下問題的敘述:

這張清單在義大利數學家李奧納多・皮薩諾(Leonardo Pisano,也就是今日人們所知的斐波那契(Fibonacci,c. 1170-1250)所著的《計算書》(Liber Abaci)中以題目形式出現,他添加了一個問題以及額外的次方:

有七個老婦人前往羅馬。每個婦人有七頭騾子,每頭騾上馱了七個麻袋,每個麻袋中裝了七個麵包,每個麵包上插了七把刀,每把刀上有七層刀鞘可以握持。請問:婦人、騾子、麻袋、麵包、刀及刀鞘的總數是多少?

在這個問題中,存在著特定的數字概念,7的連續次方:71、72、73、74、75、76;而最後一個數字是前面各個數字的總和。這個問題的另一個版本以些微變化出現在18世紀的英國兒歌〈前往聖哀維斯的路上〉(Going to St. Ives)中:

在我前往聖哀維斯的路上,

我遇到了一個帶著七個妻子的男人,

每個妻子都帶著七個麻袋,

每個麻袋裡都裝著七隻貓,

每隻貓都有七隻小貓,

貓、小貓、麻袋和妻子,

總共有多少人要前往聖哀維斯?

 

這首童謠是個陷阱題,它問的是「有多少人要前往聖哀維斯」,而不是「有多少人從聖哀維斯來」。事實上,只有敘述者要前往聖哀維斯,其他所有人都是從那座城前來的。

這些早期問題集中有許多帶有教育目的。亞歷山大港數學家丟番圖(Diophantus,200-284 C.E.)撰寫的《算數》(Arithmetica)一書,是由闡述代數方程式的謎題所組成,這本希臘選集編纂了類似於阿莫斯紙草書內容的謎語、雋語及數學謎題。阿爾坤(Alcuin,735-804 C.E.)的《青年益智題集》(Problems for Sharpening the Young,查理曼大帝委託而作),以及花拉子米(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī,1048-1123 C.E.)的《恢復與還原的計算》(Calculation by Restoration and Reduction)都是知名範例。到了13世紀,這類選集變得非常普遍,當中以斐波那契的《計算書》最為知名。斐波那契將該作品設計成對於印度─阿拉伯數字系統的輕鬆簡介,在大約五十年後這個數字系統成為歐洲的主流。在該書第三部(第十二章)中出現了他最有名的問題──「兔子」謎題。讓我們來看看這本開新風之先的作品。

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